ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ | МОДУЛЬ 6

Функции от случайных величин

Преобразования СВ, нахождение закона распределения и числовых характеристик

6.1–6.2 Функции от случайных величин (дискретный случай)

Пусть X — дискретная СВ с рядом распределения, Y = g(X) — функция от X. Тогда Y также дискретна, её возможные значения y_j = g(x_i), а вероятности P(Y=y_j) = ∑_{i: g(x_i)=y_j} P(X=x_i).

Математическое ожидание: E[g(X)] = ∑ g(x_i)·p_i

6.4 Функции от непрерывной СВ

Если X абсолютно-непрерывна с плотностью f_X(x), а Y = g(X) — монотонная дифференцируемая функция, то плотность Y: f_Y(y) = f_X(g^⁻¹(y)) · |d(g^⁻¹)/dy|.

E[g(X)] = ∫_−∞^∞ g(x) f_X(x) dx

Пример: X ~ Exp(λ), Y = cX. Тогда Y ~ Exp(λ/c) и E[Y] = c·E[X] = c/λ.

Показательное распределение: f(x)=λe^−λx, x≥0. Для g(X)=X²: E[X²] = 2/λ², и т.д.

Дискретная СВ: E[g(X)]

Введите ряд распределения X и функцию g(x).

Число значений n:

g(x) =

Непрерывная СВ: E[g(X)]

Плотность f(x) (показательное или равномерное распределение)

Распределение:

λ:

g(x) =

Пример: X ~ Exp(λ), Y = X²

λ =

Теоретически: E[X]=1/λ, E[X²]=2/λ², D[X]=1/λ².

ИИ-консультант

Задайте вопрос по функциям от случайных величин:

Ответ появится здесь...

Проверь себя

Вопрос: Если X имеет показательное распределение с λ=2, чему равно E[X²]?

0.25 0.5 1 2

Полезные ресурсы

Функция от СВ (Wiki) MathWorld