📊 Производная показательных и логарифмических функций
🎯 Основные формулы:
• (ex)' = ex
• (ax)' = ax · ln a
• (ln x)' = 1/x, x > 0
• (logax)' = 1/(x · ln a), x > 0
📌 Исследование функции:
• Производная > 0 → функция возрастает.
• Производная < 0 → функция убывает.
• Точки экстремума: производная = 0 (если есть).
📖 Пример: f(x) = ex - x. Найти экстремум.
f'(x) = ex - 1. Приравняем к нулю: ex = 1 → x = 0.
При x<0 f'(x)<0, при x>0 f'(x)>0 → x=0 – точка минимума.
💡 Важно: Показательная функция ax всегда положительна, а логарифмическая определена только при x>0. Не забывайте про область определения.
🧠 Калькулятор
🤖 ИИ + задачи
📈 График (функция + производная)
💡 Подсказки
(a>0, a≠1)
(a>0, a≠1)
🧠 Сценарий 1: Вопросы ИИ
• "Почему производная ex равна самой себе?"
• "Как найти производную ax?"
• "В чём разница между (ln x)' и (logax)'?"
✏️ Сценарий 2: Проверь себя
Задача: Найдите производную функции f(x) = 3x + ln x и определите её знак при x=1.
🧪 Сценарий 3: Исследование
Изменяйте параметры в калькуляторе и наблюдайте, как меняется график функции и её производной. В каких точках производная обращается в ноль?
📈 График функции (синий) и её производной (красный)
💡 Как использовать:
• Синяя линия — исходная функция f(x).
• Красная линия — производная f'(x).
• Там, где f'(x) > 0, f(x) возрастает; где f'(x) < 0 — убывает.
• Точки пересечения f'(x) с осью OX — возможные экстремумы.
✅ Производная показательной функции: (ax)' = ax·ln a. При a=e получаем (ex)' = ex.