МОДУЛЬ 53

📊 Графики рациональных функций

🎯 Рациональная функция: это функция вида f(x) = P(x)/Q(x), где P и Q — многочлены.

📌 Ключевые элементы графика:
• Нули функции: корни P(x) (если Q(x) ≠ 0).
• Вертикальные асимптоты: корни Q(x) (где знаменатель обращается в ноль).
• Горизонтальная асимптота: при x → ±∞ зависит от степеней P и Q.
• Наклонная асимптота: если степень P на 1 больше степени Q.

📖 Пример 1: f(x) = (x+1)/(x-2)
• Нуль: x = -1
• Вертикальная асимптота: x = 2
• Горизонтальная асимптота: y = 1

📖 Пример 2: f(x) = (x² - 4)/(x - 2) = x + 2 (при x ≠ 2). График — прямая с выколотой точкой (2, 4).

💡 Важно: Перед построением всегда ищите область определения и упрощайте функцию (сокращайте общие множители).

🧠 Калькулятор рац. функции

🤖 ИИ + задачи

📈 График

💡 Подсказки

⚙️ Функция вида f(x) = (A·x² + B·x + C) / (D·x² + E·x + F)
(для линейных задайте старшие коэффициенты 0)

Числитель:

A·x²

+ B·x

+ C

Знаменатель:

D·x²

+ E·x

+ F

🧠 Сценарий 1: Вопросы ИИ
• "Как найти вертикальные асимптоты рациональной функции?"
• "Что делать, если степень числителя меньше степени знаменателя?"
• "Почему график (x²-4)/(x-2) является прямой с выколотой точкой?"

✏️ Сценарий 2: Проверь себя
Задача: Найдите все асимптоты и нули функции f(x) = (2x+4)/(x-1).

🧪 Сценарий 3: Исследование
Изменяйте коэффициенты числителя и знаменателя в калькуляторе. Наблюдайте, как меняется расположение асимптот и нулей.

📈 График рациональной функции

💡 Как использовать:
• Функция задаётся отношением двух квадратных трёхчленов.
• Вертикальные асимптоты — пунктирные красные линии.
• Горизонтальная асимптота — пунктирная синяя линия.
• Нули функции — зелёные точки.

✅ Алгоритм построения:
1) Найти область определения (знаменатель ≠ 0).
2) Упростить функцию (сократить общие множители).
3) Найти нули числителя.
4) Найти вертикальные асимптоты (корни знаменателя).
5) Определить горизонтальную или наклонную асимптоту.
📌 Если степень числителя меньше степени знаменателя > y=0 – горизонтальная асимптота.
📌 Если степени равны > горизонтальная асимптота y = (коэффициент при старшей степени числителя)/(коэффициент знаменателя).
📌 Если степень числителя на 1 больше > наклонная асимптота (деление многочленов).
⚠️ Частая ошибка: не учитывают выколотые точки при сокращении.

🎓 Уровень выше:
Постройте график f(x) = (x² + 1)/x и найдите её наклонную асимптоту.

📊 Графики рациональных функций

📊 Оценка использования ИИ в обучении