МОДУЛЬ 33

📊 Схема Бернулли. Теория вероятностей

🎯 Определение: Схема Бернулли — это последовательность из n независимых испытаний, в каждом из которых возможны два исхода: «успех» (с вероятностью p) и «неудача» (с вероятностью q = 1-p).

📌 Формула Бернулли:
P_n(k) = C_n^k · p^k · (1-p)^n-k
где C_n^k = n! / (k! · (n-k)!) — биномиальный коэффициент.

Числовые характеристики:
• Матожидание: M(X) = n·p
• Дисперсия: D(X) = n·p·(1-p)

📖 Пример 1: Монету бросают 5 раз. Найти вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза.
n=5, k=3, p=0.5. P = C(5,3)·0.5³·0.5? = 10·0.125·0.25 = 0.3125.

📖 Пример 2: Вероятность попадания в цель 0.8. Сделано 6 выстрелов. Какова вероятность ровно 4 попаданий?
P = C(6,4)·0.8?·0.2? = 15·0.4096·0.04 = 0.24576.

💡 Важно: Схема Бернулли применима только при независимости испытаний и постоянстве вероятности успеха p.

🧠 Калькулятор Бернулли

🤖 ИИ + задачи

📈 График распределения

💡 Подсказки

⚙️ Расчёт вероятности по схеме Бернулли

n (испытаний):5

k (успехов):3

p (вероятность):0.5

Дополнительно:
Матожидание M = n·p = —
Дисперсия D = n·p·(1-p) = —

Генератор случайной серии

🧠 Сценарий 1: Вопросы ИИ
• "Почему формула Бернулли использует биномиальные коэффициенты?"
• "Как изменится распределение при увеличении n?"
• "Что такое матожидание числа успехов?"

✏️ Сценарий 2: Проверь себя
Задача: Вероятность брака детали 0.05. На контроле 10 деталей. Найдите вероятность того, что ровно 2 детали бракованные.

🧪 Сценарий 3: Исследование
Изменяйте параметры n и p в калькуляторе, следите за графиком распределения. При каком k вероятность максимальна?

📈 Биномиальное распределение: P(X=k) при n, p

?? График показывает вероятности для всех k от 0 до n. Наибольший столбец — наиболее вероятное число успехов (? n·p).

✅ Условия схемы Бернулли: независимость испытаний, постоянство p, только два исхода.
📌 Формула сочетаний: C_n^k = n!/(k!(n-k)!).
🎯 При больших n (n ? 50) можно использовать приближение нормальным распределением (теорема Муавра-Лапласа).
📈 График распределения — полигон (или столбцы) — наглядно показывает вероятности.
⚠️ Частая ошибка: путать k (число успехов) с количеством испытаний.

🎓 Уровень выше:
В партии 100 деталей, вероятность брака 0.02. Какова вероятность, что число бракованных деталей не превысит 3? (Использовать сумму вероятностей от 0 до 3).

📊 Схема Бернулли. Теория вероятностей

📊 Оценка использования ИИ в обучении